线性代数知识点总结
线性代数第一章知识点总结篇
行列式定义
逆序数
1.n!个n排列中，唯有123…(n–1)n是按顺序排列的，称该排列为*标准排列*
2.任意排列经过一次变换必将改变奇偶性
3.一段排列的逆序总数称为逆序数，例如:15243的逆序有：52、54、53、43，逆序数为4，记*τ(15243)=4*
(为了方便，以下用$\tau$标识)
4.逆序数为偶数的排列称为*偶排列*，同样，逆序数为奇数的排列称为*奇排列*
二阶行列式计算
其中$j_1$、$j_2$取遍所有的排列组合，相当于每一行取一个数之后就进行十字消除，在取下一行，如上面就有第一行第一列搭配第二行第二列，第二行第一列搭配第一行第二列。
其中$a_{12}$代表第一行第二列的数，也就是b。
三阶行列式计算
三阶行列式中${\tau(j_1j_2j_3)}$可以取：123、132、213、231、312、321
对角线法则
上下三角形
注意点(杂项)
1.行列式中，行列地位平等
(证明请看参考下篇的证明习题篇)
2.一阶行列式 |a|=a
3.代数和中每一项的正负号的决定方法：当行指标取成标准排列时，由列指标组成的排列的奇偶性确定，偶者为正，奇者为负
见上面的$\tau(j_1j_2j_3)$
行列式性质
1.D=DT(行列式行列互换，值不变)
证明：
2.行列式中两行(列)交换一次，行列式的值增加一个负号。
i行和j行交换:
推1.行列式两行(列)对应元素全相等，则行列式为零。
3.K倍行列式=行列式某一行(列)的K倍
推2.行列式中某一行元素全为0则行列式的值为0。
推3.行列式中某一行(列)元素与另一行(列)元素成比例，则行列式的值为0。
4.行列式中第i行(列)的k倍加(减)第j行(列)的m倍，行列式的值不变。
5.行列式分行相加性
推广到n：
行列式按行或列展开(降阶)
- 余子式：去掉元素$a{ij}$所在的第i行第j列的元素，留下的元素按原来位置构成的n-1阶行列式为元素$a{ij}$的余子式，记：$M_{ij}$
- 代数余子式：$A{ij} = (-1)^{i+j}M{ij}$
3.n阶行列式D = |$a{ij}$|等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式（$A{ij}$）乘积之和
规则:利用行列式的性质，使某一行（列）尽可能地有较多的0，再按行列展开！例：
克拉默法则
线性方程组的系数 矩阵 行列式$D≠0$,则行列式有唯一解，且解为：