线性代数知识点总结2

线性代数第二章知识点总结

1. 增广矩阵&系数矩阵

• 原方程：

  $$\begin{cases} -x_1+2x_2+x_3 = 2\\ 3x_1+18x_2+x_3 = 12\\ 4x_2+12x_3=2\\ \end{cases}$$

• 增广矩阵 $\overline{A}$：

  $$\left[\begin{array}{lcr|r} -1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 18 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 12 & 2 \end{array}\right]$$

• 系数矩阵 $A$：

  $$\left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 18 & 1 \\ 0 & 4 & 12 \end{matrix} \right]$$

2. 阶梯型矩阵

• 阶梯型矩阵：
  前r（r<=n）行不全为0，其余行皆为0的矩阵，且矩阵第k行第一个非零元素$a_{kj_k}$（阶梯头）满足 $$j_1<j_2<j_3<...<j_n$$ 例如： $$\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 12 & 5 \\ 0 & 18 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$$
• 约化阶梯型矩阵：
  阶梯型矩阵每行第一个非零元素为1，且阶梯头所在列的其他元素全为0。
  
  例如： $$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right]$$

3. 矩阵的秩：R

• 阶梯型矩阵的秩等于其不为零的行的行数

• 初等行（列）变换不改变矩阵的秩，可用此性质将一般的行列式转化为阶梯型行列式来求秩！

• 设 A=[$a_{ij}$]是n*n的矩阵，则有：

  • R(A)=n的充分必要条件是|$a_{ij}$|$\neq$0（满秩矩阵）
  • R(a)$\lt$n的充分必要条件是|$a_{ij}$|=0

4. 解线性方程组

1. 一般方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2\\ .........\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases}$$ $$A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right]$$ $$\overline{A} = \left[\begin{array}{cccc|r} a_{11}& a_{12}& \cdots &a_{1n} &b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} &b_n \\ \end{array}\right]$$

• 有解 $\Leftrightarrow$ $R$($\overline{A}$) = $R(A)$
  • 有唯一解 $\Leftrightarrow$ $R$($\overline{A}$) = $R(A)$ $= r = n(未知量个数)$
  • 有无穷多个解 $\Leftrightarrow R(\overline{A}) = R(A) = r < n(未知量个数)$，此时有 $n-r$ 个自由未知量
  • 特别地当m=n时，矩阵(行列式)有唯一解 $\Leftrightarrow |a_{ij}|_n\not=0$( 克拉默法则？)

2. 齐次方程组：

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = 0\\ .........\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n = 0\\ \end{cases}$$

• 即 $b_1=b_2=b_3=b_4=…=b_n=0$ 的特例我们称为齐次方程组，注意到其必有解，且为0解！！！
• 只有零解 $\Leftrightarrow$ $R$($\overline{A}$) = $R(A)$ $= r = n(未知量个数)$
• 有非零解 $\Leftrightarrow R(\overline{A}) = R(A) = r < n(未知量个数)$，此时有 $n-r$ 个自由未知量
• 特别地当 $m=n$ 时，矩阵(行列式)只有零解（唯一解） $\Leftrightarrow |a{ij}|_n\not=0$, 有非零解 $\Leftrightarrow |a{ij}|_n=0$

5.重要题型及解法：

参考来自P59页，线性代数 第二版 11.5教材

​
​